よくわかる現代数学　代数学１「集合」 - アフィリエイト始めました。

はじめに
よくわかると銘打ってはいますが説明が下手くそなので多分よくわかりません。あらかじめご了承ください。
数学は大きく三つの分野に分かれます。関数を微分したり積分したりする「解析学」、図形の面積や体積を求める「幾何学」、そして方程式の解や数字の性質を調べる「代数学」、この三つです。今回はこの三つ目についてお話します。

代数学においてもっとも基本的でもっとも重要な概念が集合です。

$A=\{x|x\text{は2の倍数}\}$

$B=\{x|x\text{は3の倍数}\}$

$A\cap B=\{x|x\text{は6の倍数}\}$

というような表記を高校数学でやった記憶のある人も多いと思います。この例では数の集まりを集合、その一つ一つを元もしくは要素と呼んでいましたが、数を要素に持つものばかりが集合というわけではありません。集合の書き方として、要素を全て書き下すというものもありました。

$C=\{\text{鯖,鮪,鯵,鮭,鰹,鮎}\}$

別にふざけているというわけではなく、ルール上これも集合として扱うことができるという例です。たまたま魚で統一しましたが、鯖の代わりにキャベツが入っていてもいいですし、鰹の代わりに牛乳が入っていてもいいです。あくまで、もの(・・)を集めてきたものが集合であって、そこに共通の性質が必要とかそういうことはないです。まあそういうある種の性質がないと学術的に何の価値もないんですけど。それから、要素が一つもない集合を空集合と言いました。

※追記１
集合の範囲を明確に設定できる必要はあるので、数字と魚が混在するような集合を作ることはできません。

また、集合の集まりというのも存在します。そのような集合を一般に集合族と言います。

${\mathscr S}=\{A,B\}$

ところで集合はよく食べ物とお皿に喩えられますが、するとこれは２の倍数が乗ったお皿と３の倍数が乗ったお皿~~と魚が乗ったお皿~~が大きなトレイに乗っているという~~カオスな~~状況になります。あくまでイメージです~~ので、特にふざけている意図はありません。~~

※追記２
追記１の通りなので、数の集まりと魚の集まりを同列に扱うことはありません。ご了承ください。

それから、集合と集合の集まりとでは違うので上記のように書体を区別する傾向にあります。

さて、以降の説明では、簡単のためサイコロの出目を例にして用語の解説をしていきます。すなわち

$X=\{1,2,3,4,5,6\}$

となります。この六つの要素から適当にいくつか取り出して別の集合を作ることができます。つまりどういうことかというと

$Y=\{1,3,5\}$

$Z=\{1,2,3\}$

と、こんな感じです。上のは奇数を取ってきた集合で、下のは３以下を取ってきた集合です。このような $Y$ や $Z$ を集合 $X$ の部分集合と言います。空集合と自身の $X$ を含め、集合 $X$ の部分集合は全部で６４個存在しますが、この部分集合の集まりを部分集合族と言ったりします。厳密には少し面倒な議論が必要ですが、この部分集合族という概念は代数学の分野でも軽率に出てくるので早期に覚えておくことをオススメします。

思いの外長くなってしまったので今回はここまで。